Blind Wind Blog

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2で割れるひとつの数字(x)があったとき、
足してその数字になる二つの数の積(かけ算の結果)が
もっとも大きくなる組み合わせはどういう関係にあるか?


例:(x)が4の場合

0×4=0
1×3=3
2×2=4
3×1=3
4×0=0

2×2=4が一番大きな数字になります。


同様に、もし(x)が10だったら、
すべての組み合わせは

0×10=0
1×9=9
2×8=16
3×7=21
4×6=24
5×5=25
6×4=24
7×3=21
8×2=16
9×1=9
10×0=0

5×5が25で一番大きい数字になります。


つまり、2で割れる数だったら、きっちり半々に分けて
かけ算したときが、一番大きな数になるのです。


恋愛もこれと同じで、
お互い均等なバランスが一番いいんだよ!


って話を友達としていたんですけど
上記のように頭で試算していて気づいた。

ひょっとして、その数を1ずつずらすと
平均値をかけた場合と積は1しか違わなくない?


上記式を見返してみましょう。

1×3=3
2×2=4
3×1=3

4×6=24
5×5=25
6×4=24

うん。上下は1ずつしか違わない。

他にも試してみましょう。

9×11=99
10×10=100
11×9=99

23×25=575
24×24=576
25×23=575

349×351=122499
350×350=122500
351×349=122499

うん、間違いなさそうです。


何気なく気づいたことなんですけれど
これって何かの法則、とか数学者の名前ついてたりするのかな。

数字ってこういう、本当にさりげない規則性が
あったりなかったりで、おもしろいなあって思う。


数学の真髄は、こういう規則性を証明する
論理の積み重ねにあると思う。
一度、納得行くまで勉強してみたいもんです。
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数学ネタに食いついてみます。

4*6 と 5*5 などなどの結果が1しか違わないのは、分配法則を使うと一目瞭然ですよ。

(x -1)(x + 1) = x^2 - 1

あと元々の問題の答えの証明を考えてみました(暇人)。興味ありましたらお読みください:

X は 2 で割れるので

X = 2Y

とおけます。ここで -Y ≦ a ≦ Y を満たす変数 a を考えると

X = 2Y = 2Y + a - a = (Y+a) + (Y-a)

と表すことができます。
この Y+a と Y-a (0 ≦ Y±a ≦ 2Y = X)というのが上でBさんが実例を数えあげていた

0*10 = 0
1 * 9 = 9
2 * 8 = 16
...
10 * 0 = 0

における左辺の数字の組の、可能なすべての組み合わせを表しています(実際に a の値を -Y から Y まで1つずつ順番に代入してみると確かめられます)。

ここで、この2つの数の組を掛けると

(Y+a)(Y-a) = Y^2 - a^2

Y^2 と a^2 はどちらも正の数で、Y は定数ですから、Y^2 - a^2 が最大となるのは、a^2 = 0 になるときです。

これを満たす a の値は a = 0 だけです。
したがって、足して X になる2数の組 Y±a の積が最大となるのは、2数がどちらも Y つまり2分のXであるときです。//

以上、おつかれさまでした。

2007.04.28 19:12 URL | リオット #ExivY8Sg [ 編集 ]

数式って現代の呪文だよね。

この日記のオリジナルを書いたあと、
すぐに友人から証明が送られてきたのですが
リオットさんの書いたとおりでした。

なぜか式まではいじろうと、なかなか思えない。
未だに数学アレルギーあるのかな。
論理としては好きなんだけども。

2007.05.02 12:11 URL | B #mQop/nM. [ 編集 ]












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